量子测量

   

概述

在量子线路设计时，我们最终需要通过测量(measure)操作获得结果，进行测量的时候需要选定特定的基态进行测量，而测量得到的结果是不确定的，测量后量子态也会随机坍塌到我们测量的某个基态上。

量子测量由一组测量算子$M_m$描述，这些算子作用在被测系统状态空间上，指标$m$表示实验中可能的测量结果，若在测量前，量子系统的状态为$|\psi ⟩$，则结果$m$发生的可能性为：

$$p(m)=⟨\psi |M_m^{†}{M}_m|\psi ⟩$$

测量后系统的状态塌缩为：

$$\frac{M_m|\psi ⟩}{\sqrt{⟨\psi |M_m^{†}{M}_m|\psi ⟩}}$$

测量算子满足完备性方程：

$${\mathrm{\Sigma }}_m{M}_m^{†}{M}_m=I$$

完备性方程表达了概率之和为1的事实：

$$1={\mathrm{\Sigma }}_{m}p(m)={\mathrm{\Sigma }}_m⟨\psi |M_m^{†}{M}_m|\psi ⟩$$

该方程对所有的$|\psi ⟩$都成立，与完备性方程等价，但直接验证完备性方程更简单，所以将完备性方程作为约束条件。

根据选取测量算子的不同，我们常见的测量分成计算基测量、投影测量、Pauli测量等，MindSpore Quantum提供了丰富的测量功能与可视化展示工具，我们利用这些功能进一步学习量子测量。

计算基测量

我们先对计算基测量有一个简单认识：假设有一个n个量子比特的态，我们对它执行n比特计算基测量，测量后，如果结果为$00\cdots 0$，表明该n量子比特系统的量子状态已塌缩到$|00\cdots 0⟩$态；类似地，如果测量其中一个量子比特，那么它表示的$2^n$种情况就会被排除掉一半，即在两个各占一半的空间中，测量操作将量子态投影到其中一个空间，表明该n量子比特系统的量子状态中一个子系统塌缩了。

单量子比特在计算基下的测量

计算基测量算子：$M_0=|0⟩⟨0|$和$M_1=|1⟩⟨1|$，注意到每个测量算子都是Hermite的，即满足$M_0^{†}=M_0,M_1^{†}=M_1$，并且$M_0^2=M_0,M_1^2=M_1$，于是满足完备性关系：

$$I=M_0^{†}{M}_0+M_1^{†}{M}_1=M_0+M_1$$

假设被测量状态$|\psi ⟩=a|0⟩+b|1⟩$，则获得测量结果0的概率是：

$$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}p(0)& =⟨\psi |M_0^{†}{M}_0|\psi ⟩\\ & =⟨\psi |M_0|\psi ⟩\\ & =⟨\psi |(|0⟩⟨0|)|\psi ⟩\\ & =(⟨\psi |0⟩)(⟨0|\psi ⟩)\\ & =[(⟨0|a^{\star }+⟨1|b^{\star })|0⟩][⟨0|(a|0⟩+b|1⟩)]\\ & =(a^{\star }⟨0|0⟩+b^{\star }⟨1|0⟩)(a⟨0|0⟩+b⟨1|0⟩)\\ & =a^{\star }a\\ & =|a{|}^2\end{array}\end{array}$$

类似地，获得测量结果1的概率是$p(1)=|b{|}^2$。两种情况下，测量后的状态分别为：

$$\begin{array}{r}\begin{array}{c}\frac{M_0|\psi ⟩}{|a|}=\frac{a}{|a|}|0⟩\\ \frac{M_1|\psi ⟩}{|b|}=\frac{b}{|b|}|1⟩\end{array}\end{array}$$

多量子比特在计算基下的测量——以双量子比特为例

测量系统中所有比特

双量子比特系统下计算基测量算子：$M_{00}=|00⟩⟨00|,M_{01}=|01⟩⟨01|,M_{10}=|10⟩⟨10|$和$M_{11}=|11⟩⟨11|$，注意到每个测量算子都是Hermite的，即满足$M_{ij}^{†}=M_{ij},i,j\in \{0,1\}$，并且$M_{ij}^2=M_{ij}$，于是满足完备性关系：

$$I=M_{00}^{†}{M}_{00}+M_{01}^{†}{M}_{01}+M_{10}^{†}{M}_{10}+M_{11}^{†}{M}_{11}=M_{00}+M_{01}+M_{10}+M_{11}$$

假设被测量状态$|\psi ⟩=a|00⟩+b|01⟩+c|10⟩+d|11⟩$，则获得测量结果00的概率是：

$$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}p(00)& =⟨\psi |M_{00}^{†}{M}_{00}|\psi ⟩\\ & =⟨\psi |M_{00}|\psi ⟩\\ & =⟨\psi |(|00⟩⟨00|)|\psi ⟩\\ & =(⟨\psi |00⟩)(⟨00|\psi ⟩)\\ & =[(⟨00|a^{\star }+⟨01|b^{\star }+⟨10|c^{\star }+⟨11|d^{\star })|00⟩][⟨00|(a|00⟩+b|01⟩+c|10⟩+d|11⟩)]\\ & =(a^{\star }⟨00|00⟩+b^{\star }⟨01|00⟩+c^{\star }⟨10|00⟩+d^{\star }⟨11|00⟩)(a⟨00|00⟩+b⟨00|01⟩+c⟨00|10⟩+b⟨00|11⟩)\\ & =a^{\star }a\\ & =|a{|}^2\end{array}\end{array}$$

类似地，获得测量结果01的概率是$p(01)=|b{|}^2$，10的概率是$p(10)=|c{|}^2$，11的概率是$p(11)=|d{|}^2$。四种情况下，测量后的状态分别为：

$$\begin{array}{r}\begin{array}{c}\frac{M_{00}|\psi ⟩}{|a|}=\frac{a}{|a|}|00⟩\\ \frac{M_{01}|\psi ⟩}{|b|}=\frac{b}{|b|}|01⟩\\ \frac{M_{10}|\psi ⟩}{|c|}=\frac{c}{|c|}|10⟩\\ \frac{M_{11}|\psi ⟩}{|d|}=\frac{d}{|d|}|11⟩\end{array}\end{array}$$

测量系统中单个比特

如果测量双量子比特量子状态的第一个量子比特，双计算基测量算子：$M_0=|0⟩⟨0|\otimes I$和$M_1=|1⟩⟨1|\otimes I$，注意到每个测量算子都是Hermite的，即满足$M_0^{†}=M_0,M_1^{†}=M_1$，并且$M_0^2=M_0,M_1^2=M_1$，于是满足完备性关系：

$$I=M_0^{†}{M}_0+M_1^{†}{M}_1=M_0+M_1$$

假设被测量状态$|\psi ⟩=a|00⟩+b|01⟩+c|10⟩+d|11⟩$，则测量双量子比特量子状态的第一个量子比特，获得测量结果0的概率是：

$$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}p(0)& =⟨\psi |M_0^{†}{M}_0|\psi ⟩\\ & =⟨\psi |M_0|\psi ⟩\\ & =⟨\psi |(|0⟩⟨0|\otimes I)|\psi ⟩\\ & =(⟨00|a^{\star }+⟨01|b^{\star }+⟨10|c^{\star }+⟨11|d^{\star })|(|0⟩⟨0|\otimes I)|(a|00⟩+b|01⟩+c|10⟩+d|11⟩)\\ & =(⟨00|a^{\star }+⟨01|b^{\star }+⟨10|c^{\star }+⟨11|d^{\star })|(a|00⟩+b|01⟩)\\ & =a^{\star }a+b^{\star }b\\ & =|a{|}^2+|b{|}^2\end{array}\end{array}$$

类似地，获得测量结果1的概率是$p(1)=|c{|}^2+|d{|}^2$。两种情况下，测量后的状态分别为：

$$\begin{array}{r}\begin{array}{c}\frac{M_0|\psi ⟩}{\sqrt{|a{|}^2+|b{|}^2}}=\frac{a}{\sqrt{|a{|}^2+|b{|}^2}}|00⟩+\frac{b}{\sqrt{|a{|}^2+|b{|}^2}}|01⟩\\ \frac{M_1|\psi ⟩}{\sqrt{|c{|}^2+|d{|}^2}}=\frac{c}{\sqrt{|c{|}^2+|d{|}^2}}|10⟩+\frac{d}{\sqrt{|c{|}^2+|d{|}^2}}|11⟩\end{array}\end{array}$$

通过对计算基测量的学习，我们可以直观认识到，在多量子比特态的其中一个比特上做测量，本质是将量子态投影到两个子空间之一中。为了简洁的区分出这两个子空间，我们利用线性代数知识知道，可以通过恰好有两个唯一特征值的矩阵来描述两个正交子空间。

计算基测量的MindSpore Quantum实现

接下来我们使用MindSpore Quantum搭建一个含测量操作的量子线路并观察结果，首先导入本教程所依赖的模块。

import numpy as np                           # 导入numpy库并简写为np
from mindquantum.core.gates import X, H      # 导入量子门H, X
from mindquantum.simulator import Simulator  # 从mindquantum.simulator中导入Simulator类
from mindquantum.core.circuit import Circuit # 导入Circuit模块，用于搭建量子线路
from mindquantum.core.gates import Measure   # 引入测量门

说明：

（1）numpy是一个功能强大的Python库，主要用于对多维数组执行计算，支持大量的维度数组与矩阵运算，此外也针对数组运算提供大量的数学函数库；

（2）mindquantum是量子-经典混合计算框架，支持多种量子神经网络的训练和推理；

（3）搭建的量子线路中所需执行的量子门需要从 mindquantum.core 模块中导入；

（4）运行量子线路所需要的量子模拟器需要从 mindquantum.simulator 模块中导入；

（5）搭建量子线路所需要的量子线路类 Circuit 需要从 mindquantum.core 模块中导入；

（6）对量子线路进行测量需要从 mindquantum 中导入 Measure 操作。

我们搭建出一个制备双量子比特均匀叠加态$|\psi ⟩=\frac{\sqrt{2}(|00⟩+|11⟩)}{2}$的量子线路，并分别展示在所有量子比特上使用计算基测量和只在0号量子比特上使用计算基测量的结果。

MindSpore Quantum实现测量系统中所有比特

在使用代码演示之前，我们先简单计算出理论值。

在所有量子比特上使用计算基测量$|\psi ⟩=\frac{\sqrt{2}(|00⟩+|11⟩)}{2}$：

$$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}p(00)& =|a{|}^2=(\frac{\sqrt{2}}{2}{)}^2=\frac{1}{2}\\ p(01)& =|b{|}^2=0^2=0\\ p(10)& =|c{|}^2=0^2=0\\ p(11)& =|d{|}^2=(\frac{\sqrt{2}}{2}{)}^2=\frac{1}{2}\end{array}\end{array}$$

可以看到，测量结果只有两种可能：00和11，概率均是$\frac{1}{2}$。测量后的状态分别为：

$$\begin{array}{r}\begin{array}{c}\frac{a}{|a|}|00⟩=|00⟩\\ \frac{d}{|d|}|11⟩=|11⟩\end{array}\end{array}$$

我们开始搭建制备$|\psi ⟩=\frac{\sqrt{2}(|00⟩+|11⟩)}{2}$并在所有比特上做测量的量子线路：

circ_all = Circuit()             # 初始化量子线路
circ_all += H.on(0)              # H门作用在第0位量子比特
circ_all += X.on(1, 0)           # X门作用在第1位量子比特且受第0位量子比特控制
circ_all += Measure('q0').on(0)  # 在0号量子比特作用一个测量，并将该测量命名为'q0'
circ_all += Measure('q1').on(1)  # 在1号量子比特作用一个测量，并将该测量命名为'q1'
circ_all.svg()                   # 绘制SVG格式的量子线路图片

sim = Simulator('mqvector', 2)        # 声明一个2比特的mqvector模拟器
sim.apply_circuit(circ_all).svg()     # 在模拟器上运行量子线路

可以看到我们得到的测量结果是’11’（由于测量具有随机性，此处的结果在执行时也有可能时’00’），测量后的量子态塌缩为：

print(sim.get_qs(True))

1¦11⟩

量子态塌缩成了$1|11⟩$，与理论值相符。

如果我们多测量几次，可以发现测量结果也会为’00’ （请执行多次观察不同的结果）：

sim.reset()                         #复位模拟器
sim.apply_circuit(circ_all).svg()   # 在模拟器上运行量子线路

打印出此时量子态，可以看到它坍缩成了相应的$|00⟩$：

print(sim.get_qs(True))

1¦00⟩

我们观察到，测量结果时而为’00’时而为’11’，符合理论预期，但是没有办法观察出现00和11的概率是否相同，我们希望可以多次测量，统计出不同结果出现的频率，以此观察结果是否满足预期的概率分布。为此我们使用量子线路采样(Sampling)功能：

sim.reset()
result = sim.sampling(circ_all, shots=1000)  # 对上面定义的线路采样1000次
result.svg()

我们可以看到，采样1000中，’00’出现了503次，’11’出现了497次（由于测量具有随机性，每次运行结果会略有不同），采样结果符合概率分布，细微的误差是由模拟器噪声导致。仔细阅读的同学可以发现，在量子模拟器教程中我们已经展示过该线路的采样结果，但并未解释结果如是分布的原因，在本教程中学习了计算基测量后，相信同学们对该结果分布的认识更加深刻。

MindSpore Quantum实现测量系统中单个比特

同样地，在使用代码演示之前，我们先简单计算出理论值。

在0号量子比特上使用计算基测量$|\psi ⟩=\frac{\sqrt{2}(|00⟩+|11⟩)}{2}$：

$$\begin{array}{r}\begin{array}{c}p(0)=|a{|}^2+|b{|}^2=(\frac{\sqrt{2}}{2}{)}^2=\frac{1}{2}\\ p(1)=|c{|}^2+|d{|}^2=(\frac{\sqrt{2}}{2}{)}^2=\frac{1}{2}\end{array}\end{array}$$

可以看到，测量结果有两种可能：0和1，概率均是$\frac{1}{2}$。测量后的状态分别为：

$$\begin{array}{r}\begin{array}{c}\frac{a}{\sqrt{|a{|}^2+|b{|}^2}}|00⟩+\frac{b}{\sqrt{|a{|}^2+|b{|}^2}}|01⟩=|00⟩\\ \frac{c}{\sqrt{|c{|}^2+|d{|}^2}}|10⟩+\frac{d}{\sqrt{|c{|}^2+|d{|}^2}}|11⟩=|11⟩\end{array}\end{array}$$

我们开始搭建制备$|\psi ⟩=\frac{\sqrt{2}(|00⟩+|11⟩)}{2}$并在0号量子比特上做测量的量子线路：

circ_partial = Circuit()             # 初始化量子线路
circ_partial += H.on(0)              # H门作用在第0位量子比特
circ_partial += X.on(1, 0)           # X门作用在第1位量子比特且受第0位量子比特控制
circ_partial += Measure('q0').on(0)  # 在0号量子比特作用一个测量，并将该测量命名为'q0'
circ_partial.svg()                   # 绘制SVG格式的量子线路图片

sim.reset()                            # 复位模拟器
sim.apply_circuit(circ_partial).svg()  # 在模拟器上运行量子线路

可以看到我们得到的测量结果是’1’（由于测量具有随机性，执行时有可能测量结果为’0’），测量后的量子态塌缩为：

print(sim.get_qs(True))

1¦11⟩

量子态塌缩成了$1|11⟩$，与理论值相符。

同样地，如果我们多测量几次，可以发现测量结果也会为’0’，此处不再演示。我们直接对该量子线路采样1000次观察结果：

sim.reset()
result = sim.sampling(circ_partial, shots=1000)  # 对上面定义的线路采样1000次
result.svg()

我们可以看到，采样1000中，’0’出现了500次，’1’出现了500次。采样结果符合概率分布，细微的误差是由模拟器噪声导致。

以上我们完成了量子计算基测量的学习，接下来我们进入到另一种测量操作的学习：投影测量。

投影测量

投影测量(projective measuremen)由被观察系统状态空间上一个可观测量（observable）Hermite算子$M$来描述($M=M^{†}$)，该可观测量具有谱分解：

$$M={\mathrm{\Sigma }}_{m}m{P}_m$$

这里的$P_m$是在$m$的特征值$m$对应特征空间上的投影，测量的可能结果对应于测量算子的特征值$m$。测量状态$|\psi ⟩$时，得到结果$m$的概率为

$$p(m)=⟨\psi |P_m|\psi ⟩$$

测量后量子系统的状态立即为：

$$\frac{P_m|\psi ⟩}{\sqrt{p(m)}}$$

直观解释是，我们对状态$|\psi ⟩$使用$M$投影测量，是把$|\psi ⟩$往$M$的特征空间上投影，有$p_m$的概率投影到空间$V_m$中，此时测量结果为该空间对应的特征值$m$。

投影测量一个重要的特征就是很容易计算投影测量的期望值$E(M)$。

$$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}E(M)& ={\mathrm{\Sigma }}_i{\lambda }_i{p}_i\\ & ={\mathrm{\Sigma }}_i{\lambda }_i⟨\psi |P_i|\psi ⟩\\ & =⟨\psi |({\mathrm{\Sigma }}_i{\lambda }_i{P}_i)|\psi ⟩\\ & =⟨\psi |M|\psi ⟩\end{array}\end{array}$$

投影测量可以视为一般测量的特殊情况，当测量算子除了满足完备性关系${\mathrm{\Sigma }}_m{M}_m^{†}{M}_m=I$时，还满足$M_m$是正交投影算子的条件，即$M_m$是Hermite的，并且

$$M_m{M}_{m^{\prime }}={\delta }_{m{m}^{\prime }}{M}_m$$

有了这些附加限制，一般测量退化成投影测量。

Pauli测量

最后我们学习Pauli测量，Pauli测量是投影测量中把可观测量$M$选取为泡利算子。以Pauli-Z测量为例，我们考虑Z算子：

$$\begin{array}{r}Z=\left(\begin{array}{ll}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\end{array}$$

可以看出，Z满足$Z=Z^{†}$，即Z是Hermite的。Z有两个特征值+1，-1，对应的特征向量分别为：|0⟩和|1⟩。因此Z的谱分解形式为：

$$\begin{array}{r}Z=\left(\begin{array}{ll}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)=1\times |0⟩⟨0|+(-1)\times |1⟩⟨1|\end{array}$$

使用Z做投影测量，如果测量结果为+1，我们可得出该量子比特的状态被投影到Z算子的+1特征子空间$V_{+1}$中，表明被测量态被投影成了|0⟩，相似地，如果测量结果为-1，可得出该量子比特被投影到-1特征子空间$V_{-1}$中，表明被测量态被投影成了|1⟩，这即为Pauli-Z测量。

MindSpore Quantum中为我们提供了基于给定可观测量H计算投影测量期望值的功能：

get_expectation(hamiltonian) 可以计算出模拟器当前量子态关于某个观察量的期望值：$E=⟨\psi |H|\psi ⟩$。该操作不会改变量子态。

例如，我们希望对处于$\frac{\sqrt{2}}{2}|00⟩+\frac{\sqrt{2}}{2}|11⟩$态的系统上的q1比特上作用一个Pauli-Z测量，首先我们将模拟器置位：

sim = Simulator('mqvector', 2)                        # 声明一个2比特的mqvector模拟器
sim.set_qs(np.array([2**0.5 / 2, 0, 0, 2**0.5 / 2]))  # 设置模拟器状态
print(sim.get_qs())

[0.70710678+0.j 0.        +0.j 0.        +0.j 0.70710678+0.j]

然后我们构造出在q1上做Pauli-Z测量对应的哈密顿量hams:

from mindquantum.core.operators import Hamiltonian    # 引入哈密顿量定义模块
from mindquantum.core.operators import QubitOperator  # 引入稀疏算子定义模块

hams = Hamiltonian(QubitOperator('Z1'))               # 构建在q1上作Pauli-Z测量的哈密顿量

为了深刻认识学习Pauli-Z测量操作，我们先手动计算出模拟器当前量子态在q1上做Pauli-Z测量的期望值，并推算出测量结果为+1，-1的概率：

$$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}E& =⟨\psi |H|\psi ⟩\\ & =\left(\begin{array}{cccc}\frac{\sqrt{2}}{2}& 0& 0& \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right)\times (Z\otimes I)\times \left(\begin{array}{c}\frac{\sqrt{2}}{2}\\ 0\\ 0\\ \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cccc}\frac{\sqrt{2}}{2}& 0& 0& \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\otimes \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}\frac{\sqrt{2}}{2}\\ 0\\ 0\\ \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cccc}\frac{\sqrt{2}}{2}& 0& 0& \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}\frac{\sqrt{2}}{2}\\ 0\\ 0\\ \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right)\\ & =0\\ & =1\times p(1)+(-1)\times p(-1)\\ & =1\times p(1)+(-1)\times (1-p(1))\\ & =p(1)-1+p(-1)\\ ⟹& p(1)=p(-1)=0.5\end{array}\end{array}$$

这说明测量的理论期望值为0，测量出+1，-1的概率均为50%，我们使用MindSpore Quantum提供的 get_expectation() 来验证结果：

sim.get_expectation(hams)  # 计算出模拟器当前量子态关于hams的期望值

0j

可以看到，手动计算和使用 get_expectation(hamiltonian) 计算出的结果相同，符合预期。

我们还可以对处于$\frac{\sqrt{2}}{2}|00⟩+\frac{\sqrt{2}}{2}|11⟩$态的系统上的q0,q1比特上均作用Pauli-Z测量。类似地构造出在q0,q1上做Pauli-Z测量对应的哈密顿量hams2:

hams2 = Hamiltonian(QubitOperator('Z0') + QubitOperator('Z1'))   # 构建在q0,q1上作Pauli-Z测量的哈密顿量

我们同样可以手动计算出模拟器当前量子态在q0、q1上做Pauli-Z测量的期望值：

$$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}E& =⟨\psi |H|\psi ⟩\\ & =\left(\begin{array}{cccc}\frac{\sqrt{2}}{2}& 0& 0& \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right)\times (Z\otimes I)\times \left(\begin{array}{c}\frac{\sqrt{2}}{2}\\ 0\\ 0\\ \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cccc}\frac{\sqrt{2}}{2}& 0& 0& \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right)\times (I\otimes Z)\times \left(\begin{array}{c}\frac{\sqrt{2}}{2}\\ 0\\ 0\\ \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cccc}\frac{\sqrt{2}}{2}& 0& 0& \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\otimes \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}\frac{\sqrt{2}}{2}\\ 0\\ 0\\ \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cccc}\frac{\sqrt{2}}{2}& 0& 0& \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\otimes \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}\frac{\sqrt{2}}{2}\\ 0\\ 0\\ \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cccc}\frac{\sqrt{2}}{2}& 0& 0& \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}\frac{\sqrt{2}}{2}\\ 0\\ 0\\ \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cccc}\frac{\sqrt{2}}{2}& 0& 0& \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}\frac{\sqrt{2}}{2}\\ 0\\ 0\\ \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right)\\ & =0+0\\ & =0\end{array}\end{array}$$

sim.set_qs(np.array([2**0.5 / 2, 0, 0, 2**0.5 / 2]))  # 设置模拟器状态
sim.get_expectation(hams2)                            # 计算出模拟器当前量子态关于hams2的期望值

0j

该操作不会改变量子态，我们查看当前量子态：

sim.get_qs()

array([0.70710678+0.j, 0.        +0.j, 0.        +0.j, 0.70710678+0.j])

可以发现，量子态依然是最初设定的$\frac{\sqrt{2}}{2}|00⟩+\frac{\sqrt{2}}{2}|11⟩$

我们学习认识了量子计算中重要的一个操作——测量，还使用MindSpore Quantum测量量子线路验证我们的理论结果，并使用不同可视化工具展示出测量结果。

想学习MindSpore Quantum中量子线路的高阶操作，构建并训练量子经典混合神经网络，请查看 get_expectation_with_grad() 和 apply_hamiltonian() 的文档。

from mindquantum.utils.show_info import InfoTable

InfoTable('mindquantum', 'scipy', 'numpy')

Software	Version
mindquantum	0.9.11
scipy	1.10.1
numpy	1.23.5
System	Info
Python	3.9.16
OS	Linux x86_64
Memory	8.3 GB
CPU Max Thread	8
Date	Sat Dec 30 00:00:16 2023