量子相位估计算法

概述

量子相位估计算法(Quantum Phase Estimation Algorithm，简称QPE)，是很多量子算法的关键。假设一个幺正算符 $U$ ，这个幺正算符作用在其本征态 $| u ⟩$ 上会出现一个相位 $e^{2 π i φ}$ ，现在我们假设 $U$ 算符的本征值未知，也就是 $φ$ 未知，但是 $U$ 算符和本征态 $| u ⟩$ 已知，相位估计算法的作用就是对这个相位 $φ$ 进行估计。

quantum phase estimation

算法解析

量子相位估计算法的实现需要两个寄存器(register)，第一寄存器包含 $t$ 个初始在 $| 0 ⟩$ 的量子比特，比特数和最后相位估计的结果的精度和算法的成功概率相关；第二个寄存器初始化在幺正算符 $U$ 的本征态 $| u ⟩$ 上。相位估计算法主要分为三步：

步骤一

对第一寄存器的所有量子比特进行 Hadamard 门操作，对第二寄存器连续进行 控制U 门操作，其中 $U$ 门的幂次依次为 $2^{0}, 2^{1}, . . ., 2^{t - 1}$ ，控制比特依次为 $q_{t - 1}, q_{t - 2}, . . ., q_{1}, q_{0}$ 。这时第一寄存器中的态就会变为

| ψ_{1} ⟩ = \frac{1}{2^{t / 2}} (| 0 ⟩ + e^{i 2 π 2^{t - 1} φ} | 1 ⟩) (| 0 ⟩ + e^{i 2 π 2^{t - 2} φ} | 1 ⟩) . . . (| 0 ⟩ + e^{i 2 π 2^{0} φ} | 1 ⟩) = \frac{1}{2^{t / 2}} \sum_{k = 0}^{2^{t} - 1} e^{i 2 π φ k} | k ⟩

其中 $k$ 为直积态的十进制表示，比如 $k = 0$ 表示第一寄存器中t个比特全部在基态 $| 00. . .00 ⟩$ ， $k = 2$ 表示 $| 00. . .10 ⟩$ ，以此类推。

步骤二

对第一寄存器的进行量子傅里叶变换的逆变换(Inverse Quantum Fourier Transform)，在线路中表示成 $Q F T^{†}$ , 对 $| ψ_{1} ⟩$ 进行逆量子傅里叶变换可得 $| ψ_{2} ⟩$

| ψ_{2} ⟩ = Q F T^{†} | ψ_{1} ⟩ = \frac{1}{2^{t}} \sum_{x = 0}^{2^{t} - 1} a_{x} | x ⟩

其中

a_{x} = \sum_{k = 0}^{2^{t} - 1} e^{2 π i k (φ - x / 2^{t})}

为本征基矢 $| x ⟩$ ( $x = 0.1, . . ., 2^{t}$ ) 对应的概率幅。由上式可得，当 $2^{t} φ$ 为整数，且满足 $x = 2^{t} φ$ 时，概率幅取最大值1，此时第一寄存器的末态可以精确反映 $φ$ ；当 $2^{t} φ$ 不是整数时， $x$ 为 $φ$ 的估计，且 $t$ 越大，估计精度越高。

步骤三

对第一寄存器的量子比特进行测量，得到第一寄存器的末态 $f = \sum_{x}^{2^{t} - 1} a_{x} | x ⟩$ , $x = 0, 1, . . ., 2^{t}$ ，从中找到最大的振幅 $a_{m a x}$ ，其对应的本征基矢 $| x ⟩$ 中的 $x$ 再除以 $2^{t}$ 即为相位的估计值。

QPE代码实现

下面用一个实例来演示如何在MindSpore Quantum实现量子相位估计算法，选择 T 门作为进行估计的幺正算符，由定义

T | 1 ⟩ = e^{i π / 4} | 1 ⟩

可知需要估计的相位角为 $φ = \frac{1}{8}$ 。

现在假设我们不知道 T 门的相位信息，只知道幺正算符 $U$ 是 T 门且本征态为 $| 1 ⟩$ ，接下来我们需要用量子相位估计算法求出其对应的本征值，即需要估计本征值指数上的相位角。

首先导入相关依赖。

[1]:

from mindquantum.core.gates import T, H, X, Power, BARRIER
from mindquantum.core.circuit import Circuit, UN
from mindquantum.simulator import Simulator
from mindquantum.algorithm.library import qft
import numpy as np

UN 可以指定量子门，目标比特和控制比特，从而在线路中搭建门操作； Power 可以得到指定量子门的指数形式。因为我们已知 T 门的本征态为 $| 1 ⟩$ ，所以第二寄存器只需1个比特，而在第一寄存器中的比特数越多，得到的结果就越准确，在这里我们使用4个比特。

因此我们需要搭建5比特线路， $q_{0}, q_{1}, q_{2}, q_{3}$ 比特用于估计，属于第一寄存器， $q_{4}$ 属于第二寄存器用于传入 $T$ 算符的本征态。

利用 UN 对 $q_{0}, q_{1}, q_{2}, q_{3}$ 进行 Hadamard 门操作，用 X 门对 $q_{4}$ 进行翻转，得到 T 门的本征态 $| 1 ⟩$ 。

[2]:

# pylint: disable=W0104
n = 4
circ = Circuit()
circ += UN(H, n) # 对前4个比特作用力H门
circ += X.on(n)  # 对q4作用X门
circ.svg()

[2]:

../_images/case_library_quantum_phase_estimation_5_0.svg

以 $q_{4}$ 为目标比特，添加控制 $T^{2^{i}}$ 门。

[3]:

# pylint: disable=W0104
for i in range(n):
    circ += Power(T, 2**i).on(n, n - i - 1) # 添加T^2^i门，其中q4为目标比特，n-i-1为控制比特
circ.svg()

[3]:

../_images/case_library_quantum_phase_estimation_7_0.svg

对第一寄存器中的比特进行逆量子傅里叶变换。

[4]:

# pylint: disable=W0104
circ += BARRIER
circ += qft(range(n)).hermitian() # 对前4个比特作用量子傅立叶变换的逆变换
circ.svg()

[4]:

../_images/case_library_quantum_phase_estimation_9_0.svg

选择后端、传入总比特数创建模拟器，对量子线路进行演化，得到末态。

[5]:

# pylint: disable=W0104
from mindquantum.core.gates import Measure
sim = Simulator('mqvector', circ.n_qubits)                      # 创建模拟器
sim.apply_circuit(circ)                                         # 用模拟器演化线路
qs = sim.get_qs()                                               # 获得演化得到的量子态
res = sim.sampling(UN(Measure(), circ.n_qubits - 1), shots=100) # 在寄存器1中加入测量门并对线路进行100次采样，获得统计结果
res.svg()

[5]:

../_images/case_library_quantum_phase_estimation_11_0.svg

需要注意的是，测量结果作为二进制串的读取顺序应为 $| q_{0} q_{1} q_{2} q_{3} ⟩$ ，因此我们得到寄存器1的测量结果为0010，概率幅为1，该末态可以精准地反映相位 $φ$ 。但0010是二进制结果，因此我们将它转回十进制后再除以 $2^{n}$ ，就得到了我们最终的估计值： $φ = \frac{2}{2^{4}} = \frac{1}{8}$ 。

我们也可以通过线路演化得到的量子态 qs 找出第一寄存器中振幅最大值 $a_{m a x}$ 的位置，进而得到其对应的本征基矢 $| x ⟩$ ，其中的 $x$ 再除以 $2^{t}$ 即为相位的估计值。

[6]:

index = np.argmax(np.abs(qs))
print(bin(index)[2:])

需要注意的是，qs 对应的是整个量子线路的末态，因此得到的 index 也包含第二寄存器中的比特，不能直接得到第一寄存器末态中 $a_{m a x}$ 对应的 $| x ⟩$ ，需要将 index 转成二进制后将 $q 4$ 对应的比特位剔除，然后得到的才是第一寄存器的 $| x ⟩$ 。

[7]:

bit_string = bin(index)[2:].zfill(circ.n_qubits)[1:]        # 将index转换成01串并剔除q4
bit_string = bit_string[::-1]                               # 将比特串顺序调整为q0q1q2q3
print(bit_string)

再将二进制转回十进制，得到我们最终的估计值。

[8]:

# pylint: disable=W0104
theta_exp = int(bit_string, 2) / 2**n
theta_exp

[8]:

0.125

可见得到的估计相位和 $φ$ 近似相等。

[9]:

from mindquantum.utils.show_info import InfoTable

InfoTable('mindquantum', 'scipy', 'numpy')

[9]:

Software	Version
mindquantum	0.9.11
scipy	1.10.1
numpy	1.23.5
System	Info
Python	3.9.16
OS	Linux x86_64
Memory	8.3 GB
CPU Max Thread	8
Date	Sun Dec 31 23:59:31 2023

参考文献

[1] Michael A. Nielsen and Isaac L. Chuang. Quantum computation and quantum information