含参量子线路的等价性检查
概述
在量子设备上运行含参量子线路之前，需要将其编译成由该设备支持的量子门集组成的新线路。于是，需要对编译前后的两个线路进行等价性检查。论文Equivalence Checking of Parameterized Quantum Circuits中提出了一种基于ZX演算的含参量子线路等价性检查方法，本文尝试在MindSpore Quantum架构中复现论文中的方法。
论文链接：https://doi.org/10.1145/3566097.3567932
[1]:
# 引入相关库
from mindquantum.core.circuit import Circuit
import numpy as np
from mindquantum.core.gates import H, CNOT, RX, RZ
from mindquantum.core.circuit import dagger
第一步
准备量子线路
以Qiskit线路库中的TwoLocal线路为例。TwoLocal线路是由旋转层和纠缠层交替组成的含参线路，旋转层即作用在所有量子比特上的单量子门，纠缠层根据纠缠策略使用双量子门将量子比特纠缠起来。
构造一个作用在127位量子比特上、由三组旋转层和纠缠层交替组成、纠缠策略为循环纠缠的TwoLocal线路，共包含508个参数。旋转层是作用在每一个量子比特上的含参RX门；循环纠缠层是由最后一个量子比特控制第一个量子比特的CNOT门，以及依次由前一个量子比特控制后一个量子比特的CNOT门。
[2]:
# 每一组旋转层和纠缠层的组合就是一层ansatz线路
def build_ansatz(n_qubits, depth):
circ = Circuit() # 初始化量子线路
for i in range(depth):
for j in range(n_qubits):
circ += RX(f'theta{i*n_qubits+j}').on(j) # 每个量子比特上一个RX门
circ += CNOT.on(0, n_qubits-1) # 最后一个量子比特和第一个量子比特上一个CNOT门
for j in range(n_qubits-1):
circ += CNOT.on(j+1, j) # 相邻两个量子比特上一个CNOT门，CNOT门作用在第j+1位，且受第j位控制
for j in range(n_qubits):
circ += RX(f'theta{depth*n_qubits+j}').on(j) # 每个量子比特上一个RX门
return circ
[3]:
# 作用在3个量子比特上的一层ansatz线路示例
build_ansatz(3, 1).svg()
[3]:
[4]:
# 初始线路共3层，作用在127个量子比特上
n_qubits = 127
depth = 3
circ1 = build_ansatz(n_qubits, depth)
circ1.summary() # 总结初始线路
Circuit Summary ╭───────────────────────┬───────────────────────────────────────────────────────────────────╮ │ Info │ value │ ├───────────────────────┼───────────────────────────────────────────────────────────────────┤ │ Number of qubit │ 127 │ ├───────────────────────┼───────────────────────────────────────────────────────────────────┤ │ Total number of gate │ 889 │ │ Barrier │ 0 │ │ Noise Channel │ 0 │ │ Measurement │ 0 │ ├───────────────────────┼───────────────────────────────────────────────────────────────────┤ │ Parameter gate │ 508 │ │ 508 ansatz parameters │ theta0, theta1, theta2, theta3, theta4, theta5, theta6, theta7, │ │ │ theta8, theta9... │ ╰───────────────────────┴───────────────────────────────────────────────────────────────────╯
接下来对初始量子线路进行编译。
假设编译前的量子门集为：H、CNOT、RZ、RX；编译后的量子门集为：H、CNOT、RZ。编译规则是H、CNOT、RZ门保持不变，将RX门编译成H、RZ、H的组合。
[5]:
def compile_circuit(circ):
circ_compiled = Circuit()
for gate in circ: # 遍历初始线路中的量子门
# H，CNOT，RZ门保持不变
if gate.name == 'H' or gate.name == 'CNOT' or gate.name == 'RZ':
circ_compiled += gate
elif gate.name == 'RX': # RX门经过编译变成H*RZ*H
circ_compiled += H.on(gate.obj_qubits)
circ_compiled += RZ(gate.coeff).on(gate.obj_qubits)
circ_compiled += H.on(gate.obj_qubits)
return circ_compiled
[6]:
# 一层ansatz线路编译后生成的线路示例，可以看到，所有RX门都根据编译规则发生了变化
compile_circuit(build_ansatz(3, 1)).svg()
[6]:
[7]:
# 编译初始线路
circ2 = compile_circuit(circ1)
circ2.summary() # 总结编译线路
Circuit Summary ╭───────────────────────┬───────────────────────────────────────────────────────────────────╮ │ Info │ value │ ├───────────────────────┼───────────────────────────────────────────────────────────────────┤ │ Number of qubit │ 127 │ ├───────────────────────┼───────────────────────────────────────────────────────────────────┤ │ Total number of gate │ 1905 │ │ Barrier │ 0 │ │ Noise Channel │ 0 │ │ Measurement │ 0 │ ├───────────────────────┼───────────────────────────────────────────────────────────────────┤ │ Parameter gate │ 508 │ │ 508 ansatz parameters │ theta0, theta1, theta2, theta3, theta4, theta5, theta6, theta7, │ │ │ theta8, theta9... │ ╰───────────────────────┴───────────────────────────────────────────────────────────────────╯
最后构造完整的量子线路。
根据量子线路的可逆性可知，若两个线路功能等价，那么将一个线路作用到量子比特上，再将另一个线路的逆线路作用到量子比特上，最终得到的量子态与两次作用之前的量子态等价。于是，完整的量子线路由编译后的线路和初始线路的逆线路组成。
[8]:
# 完整线路
circ1_inv = dagger(circ1) # dagger()将量子线路左右逆转，得到初始线路的逆线路
circ_all = circ1_inv + circ2 # 完整线路=初始线路的逆线路+编译后的线路
circ_all.summary() # 总结完整线路
Circuit Summary ╭───────────────────────┬───────────────────────────────────────────────────────────────────╮ │ Info │ value │ ├───────────────────────┼───────────────────────────────────────────────────────────────────┤ │ Number of qubit │ 127 │ ├───────────────────────┼───────────────────────────────────────────────────────────────────┤ │ Total number of gate │ 2794 │ │ Barrier │ 0 │ │ Noise Channel │ 0 │ │ Measurement │ 0 │ ├───────────────────────┼───────────────────────────────────────────────────────────────────┤ │ Parameter gate │ 1016 │ │ 508 ansatz parameters │ theta507, theta506, theta505, theta504, theta503, theta502, │ │ │ theta501, theta500, theta499, theta498... │ ╰───────────────────────┴───────────────────────────────────────────────────────────────────╯
第二步
将完整的量子线路转换成ZX图。
含参量子线路等价性检查方法基于ZX演算实现，需要将量子线路转换成ZX图。
量子门是ZX图中的顶点，分为3种颜色，H 门表示成黄色顶点，RX 门表示成含参的红色顶点，RZ 门表示成含参的绿色顶点，CNOT 门的受控位表示成红色顶点，控制位表示成绿色顶点，受控位与控制位的顶点互为邻居。同一个量子比特上相邻两个量子门的顶点互为邻居。
先定义顶点类和图类。
[9]:
# 顶点类
class Vertex:
def __init__(self, name, color, qubit, neighbor, phase=0.0):
self.name = name # 量子门顶点的序号
self.color = color # 量子门顶点的颜色
self.phase = phase # 含参量子门的参数
self.qubit = qubit # 作用在哪个量子比特上
self.neighbor = neighbor # 顶点之间的邻居关系
[10]:
# 图类
class Graph:
def __init__(self):
self.vertices = {} # 初始图，空
self.count = 0 # 顶点总数，只增不减，也用于给新顶点命名
# 新增边
def add_edge(self, from_vertex, to_vertex): # 添加一条从起点到终点的边
self.vertices[from_vertex].neighbor.append(to_vertex)
# 新增顶点
def add_vertex(self, color, qubit, neighbor, phase=0.0):
name = self.count
self.count += 1
# 添加从新顶点到相邻顶点的边
self.vertices[name] = Vertex(name, color, qubit, neighbor, phase)
for v in neighbor: # 再添加从相邻顶点到新顶点的边
self.add_edge(v, name)
# 打印图信息
def print(self):
print("==================graph message==================")
for v in self.vertices.values():
print(v.name, '\t', v.neighbor, '\t', v.color, '\t', v.phase)
print('\n')
# 删除自身的环
# 省略了ZX图的无环规则（本文中，所有“无环”均指不存在单条边构成的环）
def clear(self):
for v in self.vertices.values():
while v.name in v.neighbor:
# 将本顶点从自己的邻居中删除
self.vertices[v.name].neighbor.remove(v.name)
# 删除顶点
def delete_vertex(self, name):
for v in self.vertices.values():
while name in v.neighbor: # 删除终点是该顶点的边
self.vertices[v.name].neighbor.remove(name)
self.vertices.pop(name) # 删除起点是该顶点的边
# 两个电路是否等价
def equiv(self):
if not self.vertices: # 等价的两个电路，经过ZX演算化简后，图中无顶点
print("Equivalent!")
else:
print("Not sure!")
接下来将量子线路绘制成ZX图。
遍历线路中的所有量子门，并依次将其绘制成ZX图中的顶点。若当前量子比特上暂无量子门，则当前的量子门暂无邻居；若当前量子比特上已有量子门，则当前的量子门与该量子比特上最后一个量子门互为邻居；CNOT 门在绘制时就添加了控制位与受控位顶点之间的邻居关系。
[11]:
def draw_graph(circ):
g = Graph() # 初始化一个空图
last_name = [-1] * circ.n_qubits # last_name保存每个量子比特上当前的最后一个顶点
for gate in circ: # 遍历线路中的所有量子门
if gate.name == 'H': # H门绘制成黄色顶点
if last_name[gate.obj_qubits[0]] != -1: # 当前量子比特上已有顶点
g.add_vertex('yellow', gate.obj_qubits[0],
[last_name[gate.obj_qubits[0]]])
else: # 当前量子比特上暂无顶点
g.add_vertex('yellow', gate.obj_qubits[0], [])
last_name[gate.obj_qubits[0]] = g.count-1 # 更新当前量子比特上最后一个顶点为新增顶点
if gate.name == 'RX': # RX门绘制成红色顶点
if last_name[gate.obj_qubits[0]] != -1:
g.add_vertex('red', gate.obj_qubits[0],
[last_name[gate.obj_qubits[0]]], gate.coeff)
else:
g.add_vertex('red', gate.obj_qubits[0], [], gate.coeff)
last_name[gate.obj_qubits[0]] = g.count-1
if gate.name == 'RZ': # RZ门绘制成绿色顶点
if last_name[gate.obj_qubits[0]] != -1:
g.add_vertex('green', gate.obj_qubits[0],
[last_name[gate.obj_qubits[0]]], gate.coeff)
else:
g.add_vertex('green', gate.obj_qubits[0], [], gate.coeff)
last_name[gate.obj_qubits[0]] = g.count-1
if gate.name == 'CNOT': # CNOT门要分别绘制控制位顶点和受控位顶点
# 绘制控制位顶点，绿色
if last_name[gate.obj_qubits[1]] != -1:
g.add_vertex('green', gate.obj_qubits[1],
[last_name[gate.obj_qubits[1]]])
else:
g.add_vertex('green', gate.obj_qubits[1], [])
last_name[gate.obj_qubits[1]] = g.count-1
# 绘制受控位顶点，红色
if last_name[gate.obj_qubits[0]] != -1:
g.add_vertex('red', gate.obj_qubits[0],
[last_name[gate.obj_qubits[0]], g.count-1])
else:
g.add_vertex('red', gate.obj_qubits[0], [g.count-1])
last_name[gate.obj_qubits[0]] = g.count-1
return g
最后，将第一步构造好的完整量子线路绘制成ZX图。
[12]:
g = draw_graph(circ_all)
第三步
化简ZX图。
ZX演算由ZX图和化简规则组成，根据化简规则，对ZX图中的顶点和邻居关系进行化简。
以下列出部分规则，具体实现过程即图和顶点的相关操作，只举例说明，不再一一赘述。
规则1：不与其他量子比特上的顶点相邻的、参数为0的红色或绿色顶点可以删除。
[13]:
def rule_1(g: Graph):
for v1 in list(g.vertices.keys()): # ZX演算过程中，图中的顶点会发生增减，用list()获取最初的所有顶点
if v1 not in g.vertices.keys(): # 判断当前顶点在化简过程中有没有被删除
continue # 已被删除，略过
v1 = g.vertices[v1]
# 顶点参数为0
if v1.phase == 0 or list(v1.phase.values()) == [0.0]*len(list(v1.phase.values())):
flag = True # 用于判断当前顶点是否与其他量子比特上的顶点相关，如果相关，暂时不能删除
for v2 in v1.neighbor:
v2 = g.vertices[v2]
if v2.qubit != v1.qubit: # 与其他量子比特上的顶点相关
flag = False
break
if flag: # 与其他量子比特上的顶点无关
for v2 in v1.neighbor:
v2 = g.vertices[v2]
v2.neighbor.extend(v1.neighbor) # 将前一个顶点与后一个顶点相连，略过当前顶点
g.clear() # 清除化简过程中可能产生的环
g.delete_vertex(v1.name) # 删除该顶点
规则2：相邻的、相同颜色的红色或绿色顶点可以合并。
[14]:
def rule_2(g: Graph):
for v1 in list(g.vertices.keys()):
if v1 not in g.vertices.keys():
continue
v1 = g.vertices[v1]
if v1.color == 'red' or v1.color == 'green': # 红色或绿色顶点
for v2 in v1.neighbor: # 相邻
v2 = g.vertices[v2]
if v2.color == v1.color: # 相同颜色
v2.phase = v2.phase + v1.phase # 参数相加
v2.neighbor.extend(v1.neighbor) # 合并两个顶点
g.clear()
for v3 in v1.neighbor: # 更新合并顶点后的邻居关系
v3 = g.vertices[v3]
v3.neighbor.append(v2.name)
g.clear()
g.delete_vertex(v1.name) # 删除已被合并的顶点
规则3：所有邻居都是黄色顶点的绿色顶点，可以变成红色顶点，并删除相邻的黄色顶点。
[15]:
def rule_3(g: Graph):
for v1 in list(g.vertices.keys()):
if v1 not in g.vertices.keys():
continue
v1 = g.vertices[v1]
if v1.color == 'green':
flag = True # 用于判断是否所有邻居都是黄色
for v2 in v1.neighbor:
v2 = g.vertices[v2]
if v2.color != 'yellow': # 不满足所有邻居都是黄色
flag = False
break
if flag: # 所有邻居都是黄色
v1.color = 'red' # 变成红色
v1_neighbor = list(v1.neighbor)
for v2 in v1_neighbor: # 删除这些黄色顶点
v2 = g.vertices[v2]
v1.neighbor.extend(v2.neighbor)
g.clear()
for v3 in v2.neighbor:
v3 = g.vertices[v3]
v3.neighbor.append(v1.name)
g.clear()
g.delete_vertex(v2.name)
规则 4：相邻的、存在两条边的红绿顶点，可以删除这两条边。
[16]:
def rule_4(g: Graph):
for v1 in list(g.vertices.keys()):
if v1 not in g.vertices.keys():
continue
v1 = g.vertices[v1]
if v1.color == 'green':
for v2 in v1.neighbor:
v2 = g.vertices[v2]
# 红绿顶点，且两顶点间有两条边
if v2.color == 'red' and v2.neighbor.count(v1.name) == 2:
while v2.name in g.vertices[v1.name].neighbor: # 删除相连的边
v1.neighbor.remove(v2.name)
while v1.name in g.vertices[v2.name].neighbor:
v2.neighbor.remove(v1.name)
接下来利用以上规则对ZX图进行循环化简，若某轮循环中没有删除任何顶点，则认为化简结束。
[17]:
def simplify(g: Graph):
temp = [] # 用于对比本轮循环是否有顶点被删除
while temp != list(g.vertices.keys()): # 如果本轮循环没有删除任何顶点，则认为化简结束，退出循环
temp = list(g.vertices.keys())
rule_3(g)
rule_2(g)
rule_4(g)
rule_1(g)
完整线路规模较大，可以先构造一个作用在三个量子比特上的单层线路进行测试。
[18]:
test_circ1 = build_ansatz(3, 1)
test_circ1_inv = dagger(test_circ1)
test_circ2 = compile_circuit(test_circ1)
test_circ_all = test_circ1_inv + test_circ2
test_circ_all.svg()
[18]:
[19]:
# 将测试线路绘制成ZX图
test_g = draw_graph(test_circ_all)
test_g.print()
==================graph message==================
0 [4] red -theta5
1 [3] red -theta4
2 [5] red -theta3
3 [1, 4, 6] green 0.0
4 [0, 3, 7] red 0.0
5 [2, 6, 8] green 0.0
6 [3, 5, 10] red 0.0
7 [4, 8, 9] green 0.0
8 [5, 7, 11] red 0.0
9 [7, 18] red -theta2
10 [6, 15] red -theta1
11 [8, 12] red -theta0
12 [11, 13] yellow 0.0
13 [12, 14] green theta0
14 [13, 22] yellow 0.0
15 [10, 16] yellow 0.0
16 [15, 17] green theta1
17 [16, 24] yellow 0.0
18 [9, 19] yellow 0.0
19 [18, 20] green theta2
20 [19, 21] yellow 0.0
21 [20, 22, 26] green 0.0
22 [14, 21, 23] red 0.0
23 [22, 24, 27] green 0.0
24 [17, 23, 25] red 0.0
25 [24, 26, 30] green 0.0
26 [21, 25, 33] red 0.0
27 [23, 28] yellow 0.0
28 [27, 29] green theta3
29 [28] yellow 0.0
30 [25, 31] yellow 0.0
31 [30, 32] green theta4
32 [31] yellow 0.0
33 [26, 34] yellow 0.0
34 [33, 35] green theta5
35 [34] yellow 0.0
[20]:
# 化简测试线路
print("化简之前：")
test_g.equiv()
simplify(test_g)
print("化简之后：")
test_g.equiv()
化简之前：
Not sure!
化简之后：
Equivalent!
化简功能测试通过，最后就可以化简完整线路的ZX图，化简结果显示编译前后的两个线路是等价的。
[21]:
# 化简完整线路
print("化简之前：")
g.equiv()
simplify(g) # 化简
print("化简之后：")
g.equiv()
化简之前：
Not sure!
化简之后：
Equivalent!
第四
若ZX演算无法确定则实例化参数。
对于两个不等价的线路，ZX演算不能直接给出不等价的判定结果。这时，需要对线路中的参数进行实例化，判断实例化之后的两个线路是否等价。
[22]:
# 构造反例线路：ZX演算化简后无法确定、实际上不等价的两个线路
neq_circ1 = Circuit()
neq_circ1 += H.on(1)
neq_circ1 += RX(f'theta{0}').on(2)
neq_circ1 += CNOT.on(0, 1)
neq_circ1 += RZ(f'theta{1}').on(0)
neq_circ1 += CNOT.on(2, 1)
neq_circ1 += CNOT.on(0, 1)
neq_circ1 += RX(f'theta{2}').on(2)
neq_circ1.svg()
[22]:
[23]:
neq_circ2 = Circuit()
neq_circ2 += H.on(1)
neq_circ2 += RX(f'theta{0}').on(2)
neq_circ2 += CNOT.on(0, 1)
neq_circ2 += RZ(f'theta{1}').on(0)
neq_circ2 += CNOT.on(2, 1)
neq_circ2 += CNOT.on(0, 1)
neq_circ2 += RX({f'theta{0}': 1, f'theta{1}': 1, f'theta{2}': 1}).on(2)
neq_circ2.svg()
[23]:
[24]:
neq_circ1_inv = dagger(neq_circ1)
neq_circ_all = neq_circ1_inv + neq_circ2 # 构造完整反例线路
neq_circ_all.svg()
[24]:
[25]:
# 将反例线路绘制成ZX图并进行化简
neq_g = draw_graph(neq_circ_all)
print("化简之前：")
neq_g.equiv()
simplify(neq_g)
print("化简之后：")
neq_g.equiv()
化简之前：
Not sure!
化简之后：
Not sure!
对于反例线路，ZX演算化简之后，ZX图中仍有未删掉的顶点，于是ZX演算无法确定其等价性，需要实例化参数进行验证。
实例化参数步骤分为两步：
第一步，根据映射函数实例化参数，直接比较实例化之后两个线路的矩阵形式是否等价，若不等价则停止；
第二步，若映射函数实例化未得到不等价的结果，则随机实例化参数，再直接比较实例化之后两个线路的矩阵形式是否等价，若不等价则最终判定两个线路不等价，否则，最终判定两个线路等价。
[26]:
# 映射函数实例化参数
def map_para(n, r):
para = {}
for i in range(n):
para[f'theta{i}'] = (2*np.pi/((i+1)*r)-np.pi)
return para
# 随机实例化参数
def random_para(n):
para = {}
for i in range(n):
para[f'theta{i}'] = (np.random.uniform(np.pi, -np.pi))
return para
[27]:
# 实例化参数验证两个线路是否等价，验证r轮
def verify_by_para(circ1, circ2, r):
n = len(list(set(circ1.params_name+circ2.params_name))) # 线路中一共n个参数
flag = True # 记录前r-1轮验证是否有结果
for i in range(r-1): # 前r-1轮指定参数
para = map_para(n, i+1)
# 直接比较两个实例化之后的线路的矩阵形式是否等价
if np.array_equal(circ1.matrix(para), circ2.matrix(para)):
continue
else:
print('Not equivalent!') # 在任一情况下两个线路的矩阵不等价，即表示这两个线路不等价
flag = False # 验证已有结果，结束
break
if flag: # 前r-1轮没有结果，最后一轮随机参数
para = random_para(n)
if np.array_equal(circ1.matrix(para), circ2.matrix(para)):
print('Equivalent!')
else:
print('Not equivalent!')
用实例化参数的方法去验证两个反例线路的等价性，结果为不等价。
[28]:
verify_by_para(neq_circ1, neq_circ2, 5)
Not equivalent!
最后：将以上过程合并成一个完整的功能
[29]:
def ZXcalculus(circ1, circ2):
circ1_inv = dagger(circ1) # 将原始线路左右逆转
circ = circ1_inv + circ2 # 构造完整线路
g = draw_graph(circ) # 将完整线路绘制成ZX图
print("化简之前：")
g.equiv()
simplify(g) # 根据ZX演算规则进行化简
print("化简之后：")
if not g.vertices: # 化简得到两个线路等价的结果
g.equiv()
else: # 化简未能得到结果，需要实例化参数进行验证
g.equiv()
print("实例化参数验证：")
verify_by_para(circ1, circ2, 5)
[30]:
from mindquantum.utils.show_info import InfoTable
InfoTable('mindquantum', 'scipy', 'numpy')
[30]:
| Software | Version |
|---|---|
| mindquantum | 0.9.11 |
| scipy | 1.9.3 |
| numpy | 1.23.5 |
| System | Info |
| Python | 3.8.17 |
| OS | Linux x86_64 |
| Memory | 16.62 GB |
| CPU Max Thread | 16 |
| Date | Tue Jan 2 17:38:24 2024 |