基于MindQuantum的Grover搜索算法和龙算法
概述
如果你听过量子计算，那么你一定听说过Grover搜索算法。1996年，Lov Grover [1] 提出了Grover搜索算法，它是一种利用量子状态的叠加性进行并行计算并实现加速的算法。Grover搜索算法被公认为是继Shor算法后的第二大量子算法，也是第一个被完整的实验实现的量子算法，它解决的是无序数据库搜索问题。1997年，Bennett [2] 等人证明，对于非结构化的量子搜索问题，至少需要\(\Omega(\sqrt{N})\)次量子查询，因此Grover搜索算法对于该问题是渐进意义下的最优算法。
无序数据库搜索问题（Unordered Database Search problem）就是从一个海量元素的无序数据库中，找到某些满足要求的元素。由于数据库中元素的数量是巨大的且这些元素是无序排列的，所以，要验证给定的元素是否满足要求很容易，但反过来，要找到这些元素却不是一件容易的事。
求解无序数据库搜索问题（不妨假设只有一个目标搜索数据），经典算法所需的时间复杂度为\(\mathcal{O}(N)\)，而Grover搜索算法所需的时间复杂度仅为\(\mathcal{O}(\sqrt{N})\)，相比经典算法具有平方加速，展示了量子计算的强大性能。此外，Grover搜索算法中用到的振幅扩大技巧，对许多启发式的经典搜索算法可以实现加速，因而具有广泛的应用。
本文档将会介绍Grover搜索算法的基本原理，以及通过两个具体的小例子来展示如何利用MindQuantum实现该算法。
问题描述
我们需要在一组无序的\(N\)元素集合（数据库）中进行搜索。将数据库中的元素与索引（从\(0\)到\(N-1\)之间的整数）建立一一对应，我们关注于搜索这些元素的索引。考虑将该搜索问题表示为一个关于输入\(x\)的函数\(f(x)\)，其中\(x\)为\(0\)到\(N-1\)之间的整数。那么，函数\(f\)定义为：
不失一般性，假设\(N=2^n\)，那么在量子系统中，索引以量子态\(|0\rangle,|1\rangle,...,|N-1\rangle\)（或\(|00...0\rangle,|00...1\rangle,...,|11...1\rangle\)）表示，也即我们可以使用\(n\)个量子比特存储这些索引。
同时假设搜索问题只有一个目标态\(|\omega\rangle\)。Grover搜索算法的目标就是以极大的概率将\(|\omega\rangle\)搜索出来。
Grover搜索算法的基本原理
Grover搜索算法的基本原理：首先通过Hadamard门产生均匀叠加态，然后反复调用Grover迭代（或称为\(G\)算子），以放大目标项的概率振幅同时抑制非目标项的概率振幅（该方法称之为振幅放大），最后对末态进行测量，那么就能以极大的概率得到目标态\(|\omega\rangle\)。
Grover搜索算法主要包括以下步骤：
Step 1：数据库初始化
对\(|0\rangle^{\otimes n}\)执行\(H^{\otimes n}\)操作，使得数据库被初始为一个均匀叠加态，即
\[|\psi_0\rangle=H^{\otimes n}|0\rangle^{\otimes n}=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{i=0}^{N-1}|i\rangle.\]Step 2：Grover迭代
Grover迭代又可以分解为四步：
执行Oracle算子\(U_{\omega}\)，翻转目标态\(|\omega \rangle\)的相位
为了将需要寻找的数据和其它的数据区别开，最简单的方法就是翻转目标态的相位（增加一个负号），此时我们需要构造一个Oracle算子\(U_{\omega}\)，其作用如下：
\[\begin{split}\begin{equation} U_{\omega}|x\rangle=\begin{cases} &|x\rangle,x\neq \omega&\\\\ -&|x\rangle,x=\omega& \end{cases} \end{equation}.\end{split}\]由于当\(x=\omega\)时，\(f(\omega)=1\)，那么\(U_{\omega}\)的作用还可以表示成：
\[U_{\omega}|x\rangle=(-1)^{f(x)}|x\rangle,\]其矩阵表达式为
\[\begin{split}\begin{equation} U_{\omega}= \left[ \begin{array}{ccc} (-1)^{f(0)} & 0 & \dots & 0 \\\\ 0 & (-1)^{f(1)} & \dots & 0 \\\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\ 0 & 0 & \dots & (-1)^{f(N-1)} \end{array} \right] \end{equation}.\end{split}\]执行\(H^{\otimes n}\)操作
对\(n\)位量子比特执行\(H^{\otimes n}\)操作。
执行条件相移算子\(P\)
条件相移算子\(P\)能使\(|0\rangle\)态以外的每个态的相位都翻转，其作用如下：
\[\begin{split}\begin{equation} P|x\rangle=\begin{cases}&|0\rangle,x= 0&\\\\ -&|x\rangle,x\neq0& \end{cases} \end{equation}.\end{split}\]其矩阵表达式为
\[\begin{split}\begin{equation} P = 2(|0\rangle\langle0|)^{\otimes n} - I_n = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & \dots & 0 \\\\ 0 & -1 & \dots & 0 \\\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\ 0 & 0 & \dots & -1 \end{array} \right] \end{equation}.\end{split}\]再次执行\(H^{\otimes n}\)操作
至此，完整的\(G\)算子可以表示为
\[G = H^{\otimes n} [2(|0\rangle\langle0|)^{\otimes n} - I_n] H^{\otimes n} U_{\omega}.\]注意：\(G\)算子需要迭代的次数为
\[r = \left[ \frac{\pi}{4} \sqrt{\frac{N}{M}} \right] \sim O(\sqrt{N}),\]其中，M表示目标态的个数。
Step 3：测量
对末态进行\(\\{|0\rangle,|1\rangle\\}\)基测量，就能以极大的概率得到目标态\(|\omega \rangle\)。
Grover搜索算法的完整量子线路模型如下所示：
构造翻转量子比特相位的酉算子
通过上述介绍，我们发现，Grover搜索算法中最关键的部分就是存在可以翻转量子比特相位的酉算子，Oracle算子\(U_{\omega}\)可以翻转目标态的相位，条件相移算子\(P\)可以翻转\(|0\rangle\)态以外的每个态的相位。
接下来，我们将构造可以翻转某一位量子比特相位的酉算子，定义如下：
[1]:
from mindquantum.core.circuit import Circuit
from mindquantum.core.gates import Z
def bitphaseflip_operator(phase_inversion_qubit, n_qubits): # 定义可以翻转某一位量子比特相位的函数
s = [1 for i in range(1 << n_qubits)]
for i in phase_inversion_qubit:
s[i] = -1
if s[0] == -1:
for i in range(len(s)):
s[i] = -1 * s[i]
circuit = Circuit()
length = len(s)
cz = []
for i in range(length):
if s[i] == -1:
cz.append([])
current = i
t = 0
while current != 0:
if (current & 1) == 1:
cz[-1].append(t)
t += 1
current = current >> 1
for j in range(i + 1, length):
if i & j == i:
s[j] = -1 * s[j]
for i in cz:
if i:
if len(i) > 1:
circuit += Z.on(i[-1], i[:-1])
else:
circuit += Z.on(i[0])
return circuit
现在， bitphaseflip_operator() 函数就可以实现翻转某一位量子比特的相位，只需要输入需要翻转相位的目标量子态和量子比特总数即可。
举个例子，我们现在生成3量子比特的均匀叠加态，运行如下代码：
[2]:
# pylint: disable=W0104
from mindquantum.core.gates import H
from mindquantum.core.circuit import UN
from mindquantum.simulator import Simulator
n_qubits = 3 # 设定量子比特数为3
sim = Simulator('mqvector', n_qubits) # 使用mqvector模拟器，命名为sim
circuit = Circuit() # 初始化量子线路，命名为circuit
circuit += UN(H, n_qubits) # 每位量子比特上执行H门操作
sim.apply_circuit(circuit) # 通过模拟器sim运行搭建好的量子线路circuit
circuit.svg() # 打印此时的量子线路circuit
[2]:
[3]:
print(sim.get_qs(True)) # 打印模拟器sim中运行量子线路circuit后的末态
√2/4¦000⟩
√2/4¦001⟩
√2/4¦010⟩
√2/4¦011⟩
√2/4¦100⟩
√2/4¦101⟩
√2/4¦110⟩
√2/4¦111⟩
从运行的结果看到此时的量子线路，以及我们成功生成了3量子比特的均匀叠加态。
假设我们需要翻转\(|4\rangle\)态的相位，只需调用我们定义好的bitphaseflip_operator()函数即可，运行如下代码：
[4]:
# pylint: disable=W0104
sim.reset() # 重置模拟器sim维护好的量子态，使得初始化的量子态为|000>
phase_inversion_qubit = [4] # 翻转|4>态的相位
operator = bitphaseflip_operator(phase_inversion_qubit, n_qubits)# 调用我们定义好的bitphaseflip_operator()函数
circuit += operator # 在量子线路circuit中添加翻转|4>态的相位所需的量子门
sim.apply_circuit(circuit) # 通过模拟器sim再次运行搭建好的量子线路circuit
circuit.svg() # 打印此时的量子线路circuit
[4]:
[5]:
print(sim.get_qs(True)) # 打印模拟器sim中运行量子线路circuit后的末态
√2/4¦000⟩
√2/4¦001⟩
√2/4¦010⟩
√2/4¦011⟩
-√2/4¦100⟩
√2/4¦101⟩
√2/4¦110⟩
√2/4¦111⟩
从运行的结果看到此时的量子线路，以及\(|100\rangle\)的相位翻转为-1，运行如下代码：
[6]:
print(int('100', 2))
4
从运行的结果看到，发生相位翻转的\(|100\rangle\)态即为我们希望相位翻转的\(|4\rangle\)态。
假设我们需要翻转除\(|0\rangle\)态以外的每个态的相位，运行如下代码：
[7]:
# pylint: disable=W0104
n_qubits = 3 # 设定量子比特数为3
sim1 = Simulator('mqvector', n_qubits) # 使用mqvector模拟器，命名为sim1
operator1 = bitphaseflip_operator([i for i in range(1, pow(2, n_qubits))], n_qubits) # 调用我们定义好的bitphaseflip_operator()函数，翻转除|0>态以外的每个态的相位，命名为operator1
circuit1 = Circuit() # 初始化量子线路，命名为circuit1
circuit1 += UN(H, n_qubits) # 每位量子比特上执行H门操作
circuit1 += operator1 # 在量子线路circuit1中添加翻转除|0>态以外的每个态的相位所需的量子门
sim1.apply_circuit(circuit1) # 通过模拟器sim1运行搭建好的量子线路circuit1
circuit1.svg() # 打印此时的量子线路circuit1
[7]:
[8]:
print(sim1.get_qs(True)) # 打印模拟器sim1中运行量子线路circuit1后的末态
√2/4¦000⟩
-√2/4¦001⟩
-√2/4¦010⟩
-√2/4¦011⟩
-√2/4¦100⟩
-√2/4¦101⟩
-√2/4¦110⟩
-√2/4¦111⟩
从运行的结果看到此时的量子线路，以及我们成功翻转除\(|0\rangle\)态以外的每个态的相位。
也就是说，我们定义的函数bitphaseflip_operator()可以实现Grover搜素算法中的Oracle算子\(U_{\omega}\)和条件相移算子\(P\)。
利用MindQuantum实现Grover搜素算法实例
实例1：\(n=3\)，\(|\omega\rangle=|2\rangle\)（单目标）
首先，我们需要定义\(G\)算子，运行如下代码：
[9]:
def G(phase_inversion_qubit, n_qubits): # 定义Grover搜索算法中的G算子
operator = bitphaseflip_operator(phase_inversion_qubit, n_qubits)
operator += UN(H, n_qubits)
operator += bitphaseflip_operator([i for i in range(1, pow(2, n_qubits))], n_qubits)
operator += UN(H, n_qubits)
return operator
然后，我们根据Grover搜索算法的量子线路模型在MindQuantum中搭建对应的量子线路：
[10]:
# pylint: disable=W0104
from numpy import pi, sqrt
n_qubits = 3 # 设定量子比特数为3
phase_inversion_qubit = [2] # 设定需要翻转相位的目标态，在这里翻转|2>态的相位
N = 2 ** (n_qubits) # 计算出数据库中元素的总个数
M = len(phase_inversion_qubit) # 计算出目标态的总个数
r = int(pi / 4 * sqrt(N / M)) # 设定G算子迭代次数为r
sim2 = Simulator('mqvector', n_qubits) # 使用mqvector模拟器，命名为sim2
circuit2 = Circuit() # 初始化量子线路，命名为circuit2
circuit2 += UN(H, n_qubits) # 每位量子比特上执行H门操作
for i in range(r): # 循环执行G算子r次
circuit2 += G(phase_inversion_qubit, n_qubits)
sim2.apply_circuit(circuit2) # 通过模拟器sim2运行搭建好的量子线路circuit2
circuit2.svg() # 打印此时的量子线路circuit2
[10]:
[11]:
print(sim2.get_qs(True)) # 打印模拟器sim2中运行量子线路circuit2后的末态
-√2/16¦000⟩
-√2/16¦001⟩
0.9722718241315036¦010⟩
-√2/16¦011⟩
-√2/16¦100⟩
-√2/16¦101⟩
-√2/16¦110⟩
-√2/16¦111⟩
从运行的结果看到，\(|010\rangle\)态的振幅为0.9722718241315036，相比于其它的量子态，这是极大的振幅，也就是说，若我们测量此时的状态，将会以极大的概率得到目标态\(|010\rangle\)，运行如下代码进行测量：
[12]:
# pylint: disable=W0104
from mindquantum.core.gates import Measure
sim2.reset() # 重置模拟器sim2维护好的量子态，使得初始化的量子态为|000>
circuit2 += UN(Measure(), circuit2.n_qubits) # 对量子线路circuit2中的每一位量子比特添加测量门
result = sim2.sampling(circuit2, shots=1000) # 通过模拟器sim2对量子线路circuit2进行1000次的采样
result.svg() # 打印采样结果
[12]:
从运行的结果看到，1000次采样中有947次的采样结果为010，将其转化为10进制数，运行如下代码：
[13]:
print(int('010', 2))
2
从运行的结果看到，我们成功地搜索出\(|2\rangle\)态。
实例2：\(n=5\)，\(|\omega\rangle=|5\rangle\)和\(|11\rangle\)（多目标）
实例1中实现的是单目标搜索，现在我们尝试实现多目标搜索。首先，\(G\)算子已经定义好了，我们只需设定量子比特数和需要翻转相位的目标态，然后搭建对应的量子线路即可，运行如下代码：
[14]:
# pylint: disable=W0104
n_qubits = 5 # 设定量子比特数为5
phase_inversion_qubit = [5, 11] # 设定需要翻转相位的目标态，在这里翻转|5>态和|11>态的相位
N = 2 ** (n_qubits) # 计算出数据库中元素的总个数
M = len(phase_inversion_qubit) # 计算出目标态的总个数
r = int(pi / 4 * sqrt(N / M)) # 设定G算子迭代次数为r
sim3 = Simulator('mqvector', n_qubits) # 使用mqvector模拟器，命名为sim3
circuit3 = Circuit() # 初始化量子线路，命名为circuit3
circuit3 += UN(H, n_qubits) # 每位量子比特上执行H门操作
for i in range(r): # 循环执行G算子r次
circuit3 += G(phase_inversion_qubit, n_qubits)
sim3.apply_circuit(circuit3) # 通过模拟器sim3运行搭建好的量子线路circuit3
circuit3.svg() # 打印此时的量子线路circuit3
[14]:
[15]:
print(sim3.get_qs(True)) # 打印模拟器sim3中运行量子线路circuit3后的末态
-0.035907766232129455¦00000⟩
-0.035907766232129365¦00001⟩
-0.03590776623212947¦00010⟩
-0.035907766232129254¦00011⟩
-0.03590776623212947¦00100⟩
0.6932961018664989¦00101⟩
-0.035907766232129455¦00110⟩
-0.035907766232129365¦00111⟩
-0.035907766232129455¦01000⟩
-0.035907766232129365¦01001⟩
-0.03590776623212947¦01010⟩
0.6932961018664989¦01011⟩
-0.03590776623212947¦01100⟩
-0.035907766232129254¦01101⟩
-0.035907766232129455¦01110⟩
-0.035907766232129365¦01111⟩
-0.0359077662321294¦10000⟩
-0.03590776623212939¦10001⟩
-0.03590776623212936¦10010⟩
-0.03590776623212949¦10011⟩
-0.03590776623212936¦10100⟩
-0.03590776623212949¦10101⟩
-0.0359077662321294¦10110⟩
-0.03590776623212939¦10111⟩
-0.0359077662321294¦11000⟩
-0.03590776623212939¦11001⟩
-0.03590776623212936¦11010⟩
-0.03590776623212949¦11011⟩
-0.03590776623212936¦11100⟩
-0.03590776623212949¦11101⟩
-0.0359077662321294¦11110⟩
-0.03590776623212939¦11111⟩
从运行的结果看到，\(|00101\rangle\)和\(|01011\rangle\)态的振幅均为0.6932961018664989，相比于其它的量子态，这是极大的振幅，也就是说，若我们测量此时的状态，将会以极大的概率得到目标态\(|00101\rangle\)和\(|01011\rangle\)态，运行如下代码进行测量：
[16]:
# pylint: disable=W0104
sim3.reset() # 重置模拟器sim3维护好的量子态，使得初始化的量子态为|00000>
circuit3 += UN(Measure(), circuit3.n_qubits) # 对量子线路circuit3中的每一位量子比特添加测量门
result1 = sim3.sampling(circuit3, shots=1000) # 通过模拟器sim3对量子线路circuit3进行1000次的采样
result1.svg() # 打印采样结果
[16]:
从运行的结果看到，1000次采样中有463次的采样结果为00101和503次的采样结果为01011，将其转化为10进制数，运行如下代码：
[17]:
print(int('00101', 2))
print(int('01011', 2))
5
11
从运行的结果看到，我们成功地搜索出\(|5\rangle\)和\(|11\rangle\)态。
至此，我们介绍了Grover搜索算法的基本原理，以及通过两个具体的小例子来展示如何利用MindQuantum实现该算法！赶紧动手体验一下量子编程的乐趣吧！
龙算法
除了在规模为4的数据库中找1个数据的场景，Grover算法不能够精确的搜索出所标记态。清华大学龙桂鲁教授在Grover算法基础之上提出量子精确搜索算法龙算法[3]，能够以准确率为1的概率在所有场景中搜索出目标态。其主要思想是将Grover算子改写为如下的算子，
其中：\(R_0 = (I+(e^{i\theta}-1)\left|0\right>\left<0\right|)\)，\(R_\tau = (I+(e^{i\theta}-1)\left|\tau\right>\left<\tau\right|)\)。在满足相位匹配条件时，
我们只需作用\(J_s+1\)次龙算子，就可以以概率1找到目标态，这里\(\beta=\arcsin{\sqrt{M/N}}\)，\(M\)为标记态个数，\(N\)为数据库大小，\(J_s>=[((\pi/2)-\beta)/\beta]\)。下面我们用MindQuantum来实现。
一般角度相位转动线路
借助于辅助比特，我们搭建某个计算基矢一般角度相位转动线路。
[18]:
from mindquantum.core.gates import X, PhaseShift
from mindquantum.core.circuit import Circuit
def change_phase_with_anclia(which, n_qubits, phase):
c = Circuit()
which_bit = bin(which)[2:].zfill(n_qubits)[::-1]
polarity_circ = Circuit()
for idx, bit in enumerate(which_bit):
if bit == "0":
polarity_circ += X.on(idx)
c += polarity_circ
c += PhaseShift(phase).on(n_qubits, list(range(n_qubits)))
c += polarity_circ
return c
搭建龙算子
[19]:
from mindquantum.core.gates import BARRIER, Z
def L(which, n_qubits, theta, phi):
U = UN(H, n_qubits)
R0 = change_phase_with_anclia(0, n_qubits, theta)
R_t = change_phase_with_anclia(which, n_qubits, phi)
g_ops = R_t + BARRIER + U + BARRIER + R0 + BARRIER + U + BARRIER
g_ops += Z.on(n_qubits)
return g_ops
完成量子精确搜索算法：龙算法
这里我们以3比特数据库中搜索\(\left|2\right>\)态为例，完成龙算法。
[20]:
import numpy as np
from mindquantum.core.gates import H
from mindquantum.core.circuit import UN
n_qubits = 3
will_find = 2
beta = np.arcsin(np.sqrt(1 / 2**n_qubits))
Js = int((np.pi / 2 - beta) / 2 / beta)
theta = 2 * np.arcsin(np.sin(np.pi / (4 * Js + 6)) / np.sin(beta))
phi = theta
g = L(will_find, n_qubits, theta, phi) # 构建用于精确搜索的龙算子
circ = UN(H, n_qubits) + X.on(n_qubits)
for i in range(Js + 1):
circ += g
circ.svg()
[20]:
接下来，我们计算线路的量子态。
[21]:
print(circ.get_qs(ket=True))
(0.048708136684586345-0.9988130542902997j)¦1010⟩
发现，除去相位，我们可以精确的得到目标态。通过采样，我们也可以得到如下类似的结果。
[22]:
from mindquantum.simulator import Simulator
from mindquantum.core.gates import Measure
sim = Simulator('mqvector', circ.n_qubits)
res = sim.sampling(circ + UN(Measure(), circ.n_qubits), shots=100)
res.svg()
[22]:
若想查询更多关于MindQuantum的API，请点击：https://mindspore.cn/mindquantum/。
参考文献：
[1] L. K. Grover, A fast quantum mechanical algorithm for database search[C]// Proceedings of the twenty-eighth annual ACM symposium on Theory of computing. ACM, 1996: 212-219.
[2] G. Brassard, P. Hoyer, M. Mosca, et al. Quantum amplitude amplification and estimation[J]. Contemporary Mathematics, 2002, 305: 53-74.
[3] Long G L. Grover algorithm with zero theoretical failure rate. Physical Rev A, 2001, 64: 022307.