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量子相位估计算法

概述

量子相位估计算法(Quantum Phase Estimation Algorithm，简称QPE)，是很多量子算法的关键。假设一个幺正算符 $U$，这个幺正算符作用在其本征态 $|u⟩$ 上会出现一个相位 $e^{2\pi i\phi }$，现在我们假设 $U$ 算符的本征值未知，也就是 $\phi$ 未知，但是 $U$ 算符和本征态 $|u⟩$ 已知，相位估计算法的作用就是对这个相位 $\phi$ 进行估计。

算法解析

量子相位估计算法的实现需要两个寄存器(register)，第一寄存器包含$t$个初始在 $|0⟩$ 的量子比特，比特数和最后相位估计的结果的精度和算法的成功概率相关；第二个寄存器初始化在幺正算符 $U$ 的本征态 $|u⟩$ 上。相位估计算法主要分为三步：

1. 对第一寄存器的所有量子比特进行 Hadamard 门操作，对第二寄存器连续进行 控制U 门操作，其中 $U$ 门的幂次依次为 $2^0,2^1,...,2^{t-1}$，控制比特依次为 $q_{t-1},q_{t-2},...,q_1,q_0$。这时第一寄存器中的态就会变为

$$|{\psi }_1⟩=\frac{1}{2^{t/2}}(|0⟩+e^{i2\pi 2^{t-1}\phi }|1⟩)(|0⟩+e^{i2\pi 2^{t-2}\phi }|1⟩)...(|0⟩+e^{i2\pi 2^0\phi }|1⟩)=\frac{1}{2^{t/2}}\sum _{k=0}^{2^t-1}{e}^{i2\pi \phi k}|k⟩$$

其中$k$为直积态的十进制表示，比如 $k=0$ 表示第一寄存器中t个比特全部在基态 $|00...00⟩$, $k=2$ 表示 $|00...10⟩$，以此类推。

2. 对第一寄存器的进行量子傅里叶变换的逆变换(Inverse Quantum Fourier Transform)，在线路中表示成 $QF{T}^{†}$, 对 $|{\psi }_1⟩$ 进行逆量子傅里叶变换可得 $|{\psi }_2⟩$

$$|{\psi }_2⟩=QF{T}^{†}|{\psi }_1⟩=\frac{1}{2^t}\sum _{x=0}^{2^t-1}{a}_x|x⟩$$

其中

$$a_x=\sum _{k=0}^{2^t-1}{e}^{2\pi ik(\phi -x/2^t)}$$

为本征基矢 $|x⟩$ ($x=0.1,...,2^t$) 对应的概率幅 。由上式可得，当 $2^t\phi$ 为整数，且满足 $x=2^t\phi$ 时，概率幅取最大值1，此时第一寄存器的末态可以精确反映 $\phi$；当 $2^t\phi$ 不是整数时，$x$ 为 $\phi$ 的估计，且$t$越大，估计精度越高。

3. 对第一寄存器的量子比特进行测量，得到第一寄存器的末态 $f=\sum _x^{2^t-1}{a}_x|x⟩$, $x=0,1,...,2^t$，从中找到最大的振幅 $a_{max}$，其对应的本征基矢 $|x⟩$ 中的 $x$ 再除以 $2^t$ 即为相位的估计值。

QPE代码实现

下面用一个实例来演示如何在MindQuantum实现量子相位估计算法，选择 T 门作为进行估计的幺正算符，由定义

$$T|1⟩=e^{i\pi /4}|1⟩$$

可知需要估计的相位角为 $\phi =\frac{1}{8}$。

现在假设我们不知道 T 门的相位信息，只知道幺正算符 $U$ 是 T 门且本征态为 $|1⟩$ ，接下来我们需要用量子相位估计算法求出其对应的本征值，即需要估计本征值指数上的相位角。

首先导入相关依赖。

from mindquantum.core import Circuit, UN, T, H, X, Power, BARRIER
from mindquantum.simulator import Simulator
from mindquantum.algorithm import qft
import numpy as np

UN 可以指定量子门，目标比特和控制比特，从而在线路中搭建门操作； Power 可以得到指定量子门的指数形式。因为我们已知 T 门的本征态为 $|1⟩$，所以第二寄存器只需1个比特，而在第一寄存器中的比特数越多，得到的结果就越准确，在这里我们使用4个比特。

因此我们需要搭建5比特线路， $q_0,q_1,q_2,q_3$ 比特用于估计，属于第一寄存器， $q_4$ 属于第二寄存器用于传入 $T$ 算符的本征态。

利用 UN 对 $q_0,q_1,q_2,q_3$ 进行 Hadamard 门操作， 用 X 门对 $q_4$ 进行翻转，得到 T 门的本征态 $|1⟩$。

# pylint: disable=W0104
n = 4
circ = Circuit()
circ += UN(H, n) # 对前4个比特作用力H门
circ += X.on(n)  # 对q4作用X门
circ

q0: ──H──

q1: ──H──

q2: ──H──

q3: ──H──

q4: ──X──

以 $q_4$ 为目标比特，添加控制$T^{2^i}$门。

# pylint: disable=W0104
for i in range(n):
    circ += Power(T, 2**i).on(n, n - i - 1) # 添加T^2^i门，其中q4为目标比特，n-i-1为控制比特
circ

q0: ──H──────────────────────────●───
                                 │
q1: ──H───────────────────●──────┼───
                          │      │
q2: ──H────────────●──────┼──────┼───
                   │      │      │
q3: ──H─────●──────┼──────┼──────┼───
            │      │      │      │
q4: ──X────T^1────T^2────T^4────T^8──

对第一寄存器中的比特进行逆量子傅里叶变换。

# pylint: disable=W0104
circ += BARRIER
circ += qft(range(n)).hermitian() # 对前4个比特作用量子傅立叶变换的逆变换
circ

q0: ──H──────────────────────────●──────────@───────────────────────────────────────────────────────PS(-π/8)────PS(-π/4)────PS(-π/2)────H──
                                 │          │                                                          │           │           │
q1: ──H───────────────────●──────┼─────@────┼──────────────────────────PS(-π/4)────PS(-π/2)────H───────┼───────────┼───────────●───────────
                          │      │     │    │                             │           │                │           │
q2: ──H────────────●──────┼──────┼─────@────┼─────────PS(-π/2)────H───────┼───────────●────────────────┼───────────●───────────────────────
                   │      │      │          │            │                │                            │
q3: ──H─────●──────┼──────┼──────┼──────────@────H───────●────────────────●────────────────────────────●───────────────────────────────────
            │      │      │      │
q4: ──X────T^1────T^2────T^4────T^8────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

选择后端、传入总比特数创建模拟器，对量子线路进行演化，得到末态。

# pylint: disable=W0104
from mindquantum import Measure
sim = Simulator('projectq', circ.n_qubits)                      # 创建模拟器
sim.apply_circuit(circ)                                         # 用模拟器演化线路
qs = sim.get_qs()                                               # 获得演化得到的量子态
res = sim.sampling(UN(Measure(), circ.n_qubits - 1), shots=100) # 在寄存器1中加入测量门并对线路进行100次采样，获得统计结果
res

shots: 100
Keys: q3 q2 q1 q0│0.00     0.2         0.4         0.6         0.8         1.0
─────────────────┼───────────┴───────────┴───────────┴───────────┴───────────┴
             0100│▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓
                 │
{'0100': 100}

需要注意的是，测量结果作为二进制串的读取顺序应为$|q_0{q}_1{q}_2{q}_3⟩$，因此我们得到寄存器1的测量结果为0010，概率幅为1，该末态可以精准地反映相位$\phi$。但0010是二进制结果，因此我们将它转回十进制后再除以$2^n$，就得到了我们最终的估计值：$\phi =\frac{2}{2^4}=\frac{1}{8}$。

我们也可以通过线路演化得到的量子态 qs 找出第一寄存器中振幅最大值 $a_{max}$ 的位置，进而得到其对应的本征基矢 $|x⟩$ ，其中的 $x$ 再除以 $2^t$ 即为相位的估计值。

index = np.argmax(np.abs(qs))
print(bin(index)[2:])

10100

需要注意的是，qs 对应的是整个量子线路的末态，因此得到的 index 也包含第二寄存器中的比特，不能直接得到第一寄存器末态中 $a_{max}$ 对应的 $|x⟩$ ，需要将 index 转成二进制后将 $q4$ 对应的比特位剔除，然后得到的才是第一寄存器的 $|x⟩$ 。

bit_string = bin(index)[2:].zfill(circ.n_qubits)[1:]        # 将index转换成01串并剔除q4
bit_string = bit_string[::-1]                               # 将比特串顺序调整为q0q1q2q3
print(bit_string)

0010

再将二进制转回十进制，得到我们最终的估计值。

# pylint: disable=W0104
theta_exp = int(bit_string, 2) / 2**n
theta_exp

0.125

可见得到的估计相位和 $\phi$ 近似相等。

参考文献

[1] Michael A. Nielsen and Isaac L. Chuang. Quantum computation and quantum information